【数学题】老师的悬赏题：求气体运动最终概率

今天数学课老师给我们讲了一道有趣的数学题，大意是：

如图，在一个容器中被分为 A, B, C 三个区域，每两个区域间有一个通道连通，并且区域 A, C 位于容器的两端，并且除 A 区域有两个与外界接通口外，其他区域都只有一个接通口与外界接通. 现有一个被标记的气体分子 M，初始时位于区域 A 内，求 M 最终从 A 区域与外界的接通口进入外界的概率.

注意，这里有一个容易掉进的坑。M 作为气体分子，比如从 A 进入 B 后，它可以回到 A ，从此无限循环，因此不能当做一般的古典概型来讨论。还有一个审题的要点，即要求分子从 A 进入，从 A 离开的概率。

老师说第一个解出这道题可以免一个星期作业，这下不得不认真研究了 :P！

那么，让我们捋一捋题意，就是：

在 A 有 2/3 概率出去，1/3 概率进 B， 其中在 B 的有 1/3 回 A 重投，1/3 进 C. 其中在 C 的有 1/2 回 B.

可以看出这应该是一个递归概率。

设从 i 出发最终回到 A 号口到达外界的概率为 P(i)，那么，有：

P(A) = 2/3 + 1/3 P(B) (式1)

P(B) = 1/3 P(A) + 0 + P(C) (式2)

P(C) = 1/2 P(B) + 0 (式3)

联立式 1, 2, 3，解得P(A) = 10/13.

所以 M 从 A 出发，最终从 A 进入外界的概率是 10/13！好耶～

事实上这是今年武汉二调的第 14 题。